2025 管理类联考综合题 · 图解学习手册
把每道题拆成可复用的知识点：先读题，再看图，随后完成推导，最后核对答案。后续新题会继续追加到本页。
比例与混合平面几何平均速度工程问题三角函数集合解析几何数列概率股份分配组合计数
公式总表
| 知识点 | 文字表述与公式 | 使用场景 |
|---|---|---|
| 比例转份数 | 某一部分占总体的比例，等于这一部分的份数除以总份数。\(\text{第一部分占比}=\frac{\text{第一部分份数}}{\text{总份数}}=\frac{a}{a+b}\)其中 \(a\)、\(b\) 分别表示两部分的份数，总份数为 \(a+b\)。 | 溶液、分配与混合 |
| 平均速度 | 平均速度等于总路程除以总时间。\(\text{平均速度}=\frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}\)必须先把各段路程相加得到总路程，再把各段用时相加得到总时间。 | 不同路段速度不同 |
| 工程效率 | 工作效率等于工作总量除以完成时间。\(\text{工作效率}=\frac{\text{工作总量}}{\text{完成时间}}\)合作时，各人的工作效率可以相加。 | 多人合作、先后施工 |
| 三角形面积 | 三角形面积等于两边长度、两边夹角正弦值与二分之一的乘积。\(\text{三角形面积}=\frac12\times\text{边长 }a\times\text{边长 }b\times\sin(\text{夹角 }C)\)\(a\)、\(b\) 是两条边，\(C\) 是这两条边之间的夹角。 | 已知两边及夹角 |
| 相似立体 | 相似立体的体积比，等于对应长度比的立方。\(\frac{\text{立体一体积}}{\text{立体二体积}}=\left(\frac{\text{立体一对应长度}}{\text{立体二对应长度}}\right)^3\)对应长度可以使用半径、直径或边长，但前后必须统一。 | 球、半球、立体缩放 |
| 容斥原理 | 至少参加一种的人数，等于两类人数之和减去被重复计算的交集人数。\(\text{至少参加一种的人数}=\text{参加第一类人数}+\text{参加第二类人数}-\text{两类都参加人数}\) | 两类人群重叠 |
| 古典概率 | 事件发生的概率，等于有利情况数除以全部等可能情况数。\(\text{事件发生的概率}=\frac{\text{有利情况数}}{\text{全部等可能情况数}}\) | 等可能位置或组合计数 |
| 组合数 | 从 \(n\) 个不同对象中选出 \(k\) 个且不考虑顺序，取法数用组合数表示。\(\text{从 }n\text{ 个对象中选 }k\text{ 个的取法数}=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)\(n\) 表示对象总数，\(k\) 表示选出的数量。 | 不考虑顺序地选取对象 |
| 连续取样 | 两个步骤依次发生的概率，等于第一步概率乘以第一步发生后第二步的条件概率。\(\text{两个步骤都发生的概率}=\text{第一步概率}\times\text{第一步发生后的第二步概率}\) | 不放回抽取与条件概率 |
| 比例分配 | 个人所得等于均分部分所得加上按比例分配部分所得。\(\text{个人所得}=\text{均分部分所得}+\text{按比例部分所得}\) | 奖金、股份与混合分配 |
| 圆的一般式 | 圆心的两个坐标分别是一次项系数相反数的一半；半径平方由两个一次项系数和常数项共同确定。当 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 时，\(\text{圆心}=\left(-\frac D2,-\frac E2\right)\)，\(\text{半径平方}=\frac{D^2+E^2}{4}-F\)\(D\)、\(E\) 是 \(x\)、\(y\) 一次项的系数，\(F\) 是常数项。 | 由圆的一般方程求圆心和半径 |
| 等差数列 | 等差数列前 \(n\) 项的和，等于项数乘以首项与末项之和，再除以2。\(\text{前 }n\text{ 项和}=\frac{\text{项数}\times(\text{首项}+\text{末项})}{2}\) | 规律分组后的求和 |
| 重心面积 | 三角形的重心与三个顶点相连，会把原三角形分成三个等面积部分。\(\text{其中一个小三角形面积}=\frac13\times\text{原三角形面积}\) | 三角形两条中线相交 |
积的根式：乘积的平方根可以拆成两个平方根相乘，即 \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\)。
商的根式：商的平方根可以拆成两个平方根相除，即 \(\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b\)。
平方的根式：一个数平方后再开平方，结果是它的绝对值，即 \(\sqrt{x^2}=|x|\)。
分母有根号：分子分母同时乘以同一个根号，可以把分母化为有理数，即 \(a/\sqrt b=a\sqrt b/b\)。
第1题等体积溶液混合
两瓶酒精溶液体积相同，酒精与水的体积之比分别是 1:2 和 2:3。将两瓶溶液混合，混合后酒精与水的体积之比为（ ）。
核心知识点比例先转换成“占总体积的份数”，两瓶总体积相同才能直接相加。
方法一：设每瓶15份
第一瓶总份数为3，第二瓶总份数为5，取最小公倍数15。
计算第一瓶的成分：酒精占总体积的三分之一，所以酒精有 \(15\times\frac{1}{3}=5\) 份；水占三分之二，所以水有 \(15\times\frac{2}{3}=10\) 份。计算第二瓶的成分：酒精占总体积的五分之二，所以酒精有 \(15\times\frac{2}{5}=6\) 份；水占五分之三，所以水有 \(15\times\frac{3}{5}=9\) 份。合并两瓶：酒精共有 \(5+6=11\) 份，水共有 \(10+9=19\) 份，因此酒精与水的体积比为 \(11:19\)。
方法二：直接使用分数
设每瓶总体积为 \(V\)，其中 \(V\) 表示一瓶溶液的总体积。
计算酒精总量：第一瓶酒精量加第二瓶酒精量，得到 \(\frac{V}{3}+\frac{2V}{5}=\frac{11V}{15}\)。计算水的总量：第一瓶水量加第二瓶水量，得到 \(\frac{2V}{3}+\frac{3V}{5}=\frac{19V}{15}\)。比较两种成分：共同的 \(V/15\) 可以约去，所以酒精与水的体积比为 \(11:19\)。
易错点不能直接把 1:2 和 2:3 的对应数字相加，因为两个比例的“总份数”分别是3和5。
第2题等面积图形的周长
已知圆、正方形、等边三角形的周长分别为 \(a、b、c\)。若它们的面积相等，则（ ）。
核心知识点统一设面积为 S，把三个周长都改写成 S 的函数；面积相同时，越接近圆，周长越短。
方法一：统一设面积为 S
设三个图形的共同面积为 \(S\)，其中 \(S\) 表示面积；\(a\)、\(b\)、\(c\) 分别表示圆、正方形、等边三角形的周长。
计算圆的周长：由圆面积等于 \(\pi r^2\) 得半径 \(r=\sqrt{S/\pi}\)，所以圆的周长 \(a=2\sqrt{\pi S}\)，平方后为 \(a^2=4\pi S\)。计算正方形的周长：边长等于 \(\sqrt S\)，所以正方形周长 \(b=4\sqrt S\)，平方后为 \(b^2=16S\)。计算等边三角形的周长：设边长为 \(y\)，面积满足 \(S=\frac{\sqrt3}{4}y^2\)，周长为 \(c=3y\)，整理得到 \(c^2=12\sqrt3S\)。比较三个周长：因为 \(4\pi S<16S<12\sqrt3S\)，三个周长都是正数，所以得到 \(a<b<c\)。
方法二：考场直观判断
面积相同时，图形越接近圆，围住所需的边界越短。
比较图形的紧凑程度：圆最紧凑，正方形其次，等边三角形最后。转换为周长关系：越紧凑的图形周长越短，所以圆、正方形、等边三角形的周长依次满足 \(a<b<c\)。
相关公式变形
圆周长的根式整理：先把商的平方根拆开，再约去 \(\pi/\sqrt\pi=\sqrt\pi\)，所以 \(2\pi\sqrt{\frac{S}{\pi}}=2\pi\frac{\sqrt S}{\sqrt\pi}=2\sqrt\pi\sqrt S=2\sqrt{\pi S}\)。等边三角形高度：因为边长 \(y>0\)，所以 \(\sqrt{y^2}=y\)，从而 \(\sqrt{\frac{3y^2}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}y\)。分母有理化：分子分母同时乘以 \(\sqrt3\)，得到 \(\frac{36S}{\sqrt3}=\frac{36S\sqrt3}{3}=12\sqrt3S\)。
易错点不能假设三个图形的半径或边长相同；题目给的是面积相同。
第3题等路程平均速度
某人骑车从甲地前往乙地，前 1/3 路程的平均速度为 12 km/h，中间 1/3 为 18 km/h，后 1/3 为 12 km/h。全程平均速度是（ ）。
核心知识点平均速度永远是“总路程÷总时间”；等路程不能直接平均速度。
方法一：设每段36km
平均速度等于总路程除以总时间。因此先分别求出三段路程所用的时间，再汇总全程。
计算三段用时：时间等于路程除以速度，所以三段分别用时 \(36\div12=3\) 小时、\(36\div18=2\) 小时、\(36\div12=3\) 小时。计算总路程：三段各为36千米，所以总路程为 \(36\times3=108\,\mathrm{km}\)。计算总时间：三段用时相加，所以总时间为 \(3+2+3=8\,\mathrm h\)。计算平均速度：平均速度等于总路程除以总时间，因此 \(\text{平均速度}=108\div8=13.5\,\mathrm{km/h}\)。
方法二：等路程倒数平均
三段路程相等时，可以把“总路程除以总时间”整理成倒数形式。分子3表示三段相同路程，分母表示三段单位路程所需时间之和。
写出等路程公式：\(\text{平均速度}=\frac{3}{\frac1{12}+\frac1{18}+\frac1{12}}\)。统一分母：\(\frac1{12}+\frac1{18}+\frac1{12}=\frac3{36}+\frac2{36}+\frac3{36}=\frac8{36}\)。完成计算：\(\text{平均速度}=3\div\frac8{36}=13.5\,\mathrm{km/h}\)。
易错点(12+18+12)/3=14 是算术平均，只适用于三段用时相同，不适用于三段路程相同。
第4题多人合作工程
一项任务，甲单独完成需15天，甲乙共同完成需6天，甲乙丙共同完成需4天。乙单独工作1天后，余下工作由甲丙共同完成，还需要（ ）。
核心知识点把总工作量设为15、6、4的最小公倍数60，效率全部变成整数。
方法一：整数工作量
把总工作量设为60份。工作效率等于工作总量除以完成时间。
求甲和乙的效率：甲每天完成 \(60\div15=4\) 份；甲乙每天共同完成 \(60\div6=10\) 份，所以乙每天完成 \(10-4=6\) 份。求丙的效率：甲乙丙每天共同完成 \(60\div4=15\) 份，所以丙每天完成 \(15-10=5\) 份。求剩余工作量和合作效率：乙先工作1天完成6份，还剩 \(60-6=54\) 份；甲丙每天共完成 \(4+5=9\) 份。求完成时间：完成时间等于剩余工作量除以合作效率，所以还需 \(54\div9=6\) 天。
方法二：单位“1”效率
把全部任务看成单位“1”，某人单独完成所需天数的倒数就是他的工作效率。
求甲乙各自效率：甲每天完成 \(1/15\)；乙每天完成 \(\frac16-\frac1{15}=\frac1{10}\)。求丙的效率：丙每天完成三人合作效率减去甲乙合作效率，即 \(\frac14-\frac16=\frac1{12}\)。求剩余量与甲丙效率：乙工作1天后剩余 \(1-\frac1{10}=\frac9{10}\)；甲丙每天共完成 \(\frac1{15}+\frac1{12}=\frac3{20}\)。求完成时间：剩余工作量除以甲丙效率，得到 \(\frac9{10}\div\frac3{20}=6\) 天。
易错点“甲乙共同6天”给的是二人效率之和，不能把6天当作乙单独完成时间。
第5题圆内四边形面积最大值
圆的半径为2，圆心角 \(\angle AOB=120^\circ\)，点 \(C\) 是劣弧 \(AB\) 上的动点，求四边形 AOBC 面积的最大值。
核心知识点连接 OC，把四边形拆成两个“两边均为半径”的三角形；面积公式 \(S=\frac12ab\sin C\)。
方法一：三角函数面积公式
设圆心角 \(\angle AOC=\alpha\)，其中 \(\alpha\) 表示点C把120°圆心角分出的第一部分角度，那么另一部分 \(\angle COB=120^\circ-\alpha\)。
分别计算两个三角形面积：因为两边都是半径2，所以 \(\triangle AOC\) 的面积为 \(2\sin\alpha\)，\(\triangle BOC\) 的面积为 \(2\sin(120^\circ-\alpha)\)。把面积相加并整理：四边形面积等于两个三角形面积之和，即 \(\text{四边形面积}=2\sin\alpha+2\sin(120^\circ-\alpha)=2\sqrt3\cos(\alpha-60^\circ)\)。判断最大值：余弦值最大为1，因此四边形面积不超过 \(2\sqrt3\)；当 \(\alpha=60^\circ\) 时达到最大值。
方法二：弧中点与等边三角形
面积最大时，点C位于劣弧AB的中点，左右两部分完全对称。
平分圆心角：120°被平均分成两部分，所以 \(\angle AOC=\angle COB=60^\circ\)。判断三角形形状：\(OA=OC=OB=2\) 都是圆的半径，并且两个圆心角都是60°，所以两个三角形都是边长2的等边三角形。计算总面积：边长2的等边三角形面积为 \(\sqrt3\)，两个三角形面积相加得到 \(2\sqrt3\)。
sin 为什么出现在面积公式里？
以长度为 \(a\) 的边为底，长度为 \(b\) 的另一条边与底边夹角为 \(C\)。把边 \(b\) 向底边作高，高等于 \(b\sin C\)。三角形面积等于“底乘高再除以2”，所以 \(\text{三角形面积}=\frac12\times a\times(b\sin C)=\frac12ab\sin C\)。
易错点不是看到120°就直接计算一个三角形；四边形由两个三角形组成，两个圆心角之和才是120°。
第6题相似半球体积
在大半球中挖去一个同心小半球，小半球直径为大半球直径的一半。若小半球体积为 \(20\,\mathrm{cm}^3\)，剩下部分的体积为（ ）。
核心知识点相似立体的体积比等于对应长度比的立方；直径比和半径比相同。
方法一：直接用体积比
比较对应长度：小半球直径是大半球直径的一半，所以小半径与大半径之比也是 \(1:2\)。把长度比变成体积比：相似立体的体积比等于长度比的立方，所以小半球与大半球体积之比为 \(1^3:2^3=1:8\)。计算大半球体积：大半球体积是小半球的8倍，所以为 \(20\times8=160\,\mathrm{cm}^3\)。计算挖去后的剩余体积：大半球体积减去小半球体积，得到 \(160-20=140\,\mathrm{cm}^3\)。
方法二：代入半球公式
设小半球半径为 \(r\)，其中 \(r\) 表示小半球的半径；大半球半径就是 \(2r\)。
半球体积公式：半球体积等于三分之二乘以圆周率再乘以半径的立方，即 \(\text{半球体积}=\frac23\pi r^3\)。代入大半球半径：大半球体积为 \(\frac23\pi(2r)^3=8\times\frac23\pi r^3\)，说明它是小半球体积的8倍。计算剩余体积：大半球体积为 \(8\times20=160\,\mathrm{cm}^3\)，挖去小半球后剩余 \(160-20=140\,\mathrm{cm}^3\)。
易错点半径扩大2倍，体积不是扩大2倍，也不是4倍，而是扩大2³=8倍。
第7题田赛、径赛集合问题
某单位有90名员工，18人未参加比赛；参加田赛50人，参加径赛45人。若两类项目均参加的女员工有5人，则两类项目均参加的男员工有（ ）。
核心知识点田赛人数加径赛人数会把“两项都参加”的人重复计算一次。
方法一：容斥公式
求实际参赛人数：全体90人减去未参赛的18人，得到 \(90-18=72\) 人。求两项都参加的人数：田赛人数与径赛人数相加后，交集被重复计算一次，因此交集人数为 \(50+45-72=23\) 人。求交集中的男员工人数：两项都参加的23人中有5名女员工，所以男员工有 \(23-5=18\) 人。
方法二：报名人次法
田赛50人加径赛45人得到95人次，而实际参赛者只有72人。每个两项都参加的人会比普通参赛者多贡献1人次。
求重复人数：报名人次减去实际参赛人数，得到 \(95-72=23\) 人，也就是两项都参加的人数。求其中男员工人数：用两项都参加的23人减去5名女员工，得到 \(23-5=18\) 名男员工。
方法三：先求“只参加径赛”
求只参加径赛的人数：实际参赛72人中，田赛集合已经包含50人，剩下的 \(72-50=22\) 人只能是只参加径赛的人。求两项都参加的人数：径赛共45人，减去只参加径赛的22人，得到 \(45-22=23\) 人。求其中男员工人数：两项都参加的23人减去5名女员工，得到 \(23-5=18\) 名男员工。
易错点50+45不是95名不同员工；交集中的每个人在这两个数字里出现了两次。
第8题圆、切线与直角三角形
点 \(A\) 是圆 \(x^2+y^2-16x-12y+75=0\) 的圆心。过原点 O 作该圆的一条切线，切点为 B，求三角形 AOB 的面积。
核心知识点先求圆心和半径；半径 AB 垂直于切线 OB，从而得到直角三角形。
方法一：配方求圆心和半径
把一般方程化为标准方程：分别对 \(x\) 项和 \(y\) 项配方，得到 \((x-8)^2+(y-6)^2=25\)，因此圆心为 \(A(8,6)\)，半径 \(AB=5\)。求原点到圆心的距离：由坐标距离公式得到 \(AO=\sqrt{8^2+6^2}=10\)。求切线长度：半径AB垂直于切线OB，所以三角形AOB是直角三角形。由勾股定理得到 \(OB=\sqrt{AO^2-AB^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3\)。求三角形面积：直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半，所以 \(\text{三角形AOB面积}=\frac12\times5\times5\sqrt3=\frac{25\sqrt3}{2}\)。
方法二：直接使用一般式公式
对于圆的一般方程 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，\(D\)、\(E\) 是两个一次项系数，\(F\) 是常数项。
读取公式：圆心坐标为 \(\left(-\frac D2,-\frac E2\right)\)，半径平方为 \(\frac{D^2+E^2}{4}-F\)。读取本题系数：由原方程得到 \(D=-16\)、\(E=-12\)、\(F=75\)。求圆心和半径：代入公式得到圆心 \(A(8,6)\)，半径平方为 \(100-75=25\)，所以半径为5。求面积：再利用切线与半径垂直构成的直角三角形，得到三角形AOB面积为 \(\frac{25\sqrt3}{2}\)。
方法三：原点的圆幂速算
当切线从原点引出时，切线长度的平方等于把原点坐标 \((0,0)\) 代入圆的一般方程得到的值。
求切线长度：代入原点后只剩常数项75，所以 \(OB^2=75\)，进而 \(OB=5\sqrt3\)。求三角形面积：半径AB为5，因此 \(\text{三角形AOB面积}=\frac12\times5\times5\sqrt3=\frac{25\sqrt3}{2}\)。
易错点根号公式求的是半径，不是圆心；圆心为 (−D/2,−E/2)，且 E² 也要除以4。
第9题周期符号数列求和
\(1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+\cdots+97+98-99=\text{（ ）}\)
核心知识点符号按照“正、正、负”每三项循环，所以每三个连续整数分成一组。
方法一：每三项分组
按照符号周期分组：原式可以写成 \((1+2-3)+(4+5-6)+\cdots+(97+98-99)\)。计算每组的和：各组依次得到 \(0,3,6,\ldots,96\)，因此原式转化为 \(0+3+6+\cdots+96\)。提出公因数3：各项都是3的倍数，所以和等于 \(3(0+1+2+\cdots+32)\)。使用等差数列求和：从0到32共有33项，和等于 \(\frac{33\times(0+32)}2\)，因此原式为 \(3\times\frac{32\times33}{2}=1584\)。
方法二：全部先取正，再翻转3的倍数
先把所有数都当作正数：从1加到99，和为 \(\frac{99\times100}{2}=4950\)。求所有3的倍数之和：3到99共有33个3的倍数，它们的和为 \(3(1+2+\cdots+33)=1683\)。修正符号：每个3的倍数原先按正数加了一次，现在要变成负数，所以还要再减去它的两倍。完成计算：原式等于全部正数之和减去两倍的3倍数之和，即 \(4950-2\times1683=1584\)。
易错点把正数改成负数时要减去“两倍原数”：例如从 +3 变成 −3，变化量是 −6。
第10题正方形中的中线与重心
在边长为1的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、AD 的中点，DE、BF 交于点 O。求四边形 BCDO 的面积。
核心知识点在三角形 BAD 中，DE、BF 都是中线，交点 O 是重心；重心连接三个顶点形成三个等面积三角形。
方法一：重心面积性质
把正方形沿对角线平分：正方形面积为1，所以对角线BD两侧的三角形面积相等，\(\triangle BCD\) 和 \(\triangle BAD\) 的面积都为 \(1/2\)。利用重心分割面积：点O是 \(\triangle BAD\) 的重心，因此 \(\triangle BDO\) 的面积是 \(\triangle BAD\) 面积的三分之一，即 \(\frac13\times\frac12=\frac16\)。拼成阴影四边形：四边形BCDO由 \(\triangle BCD\) 和 \(\triangle BDO\) 组成。计算阴影面积：两部分面积相加，得到 \(\text{四边形BCDO面积}=\frac12+\frac16=\frac23\)。
方法二：坐标法验证
建立单位正方形坐标系：取 \(B(0,0)\)、\(C(1,0)\)、\(D(1,1)\)、\(A(0,1)\)，则两个中点为 \(E(0,1/2)\)、\(F(1/2,1)\)。
写出两条中线方程：直线DE为 \(y=\frac12x+\frac12\)，直线BF为 \(y=2x\)。求两条中线的交点：联立两条直线方程，得到重心坐标 \(O\left(\frac13,\frac23\right)\)。计算四边形面积：把B、C、D、O四点坐标代入多边形面积公式，得到四边形BCDO面积为 \(\frac23\)。
为什么 △BDO 是 △BAD 的 1/3？
补画第三条中线，三条中线把三角形分成6个等面积小三角形。△BDO由其中2个组成，所以占2/6=1/3。
易错点O 是三角形 BAD 的重心，不是正方形中心；识别中线要看“顶点连接对边中点”。
第11题两件次品进入同一箱
100件商品中有2件次品，将这些商品任意装入10个箱子，每箱10件。2件次品被装入同一箱的概率为（ ）。
核心知识点第一件次品放好后，第二件次品面对99个等可能空位；其中同箱空位只有9个。
方法一：固定第一件次品
确定全部可能位置：第一件次品占据一个位置后，第二件次品可以进入其余99个等可能位置。确定同箱有利位置：第一件次品所在箱原有10个位置，已经占用1个，因此只剩 \(10-1=9\) 个同箱位置。计算同箱概率：同箱概率等于同箱有利位置数除以全部剩余位置数，所以 \(\text{同箱概率}=\frac9{99}=\frac1{11}\)。
方法二：组合数
计算全部位置对：从100个位置中不计顺序地选2个，共有 \(\binom{100}{2}=4950\) 对。计算同箱位置对：每个箱子可以形成 \(\binom{10}{2}=45\) 对，10个箱子共有 \(10\times45=450\) 对。计算同箱概率：同箱位置对除以全部位置对，得到 \(\text{同箱概率}=\frac{450}{4950}=\frac1{11}\)。
\(\binom92\) 为什么没有分数线？
它是组合数符号，读作“9选2”，不是分数。一般公式为 \(\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
易错点不能直接写成 \(1/10\)。第一件次品放好后，原箱只剩9个位置，而其他每箱仍有10个位置，10个箱子已不再等可能。
第12题均分与股份比例混合分红
某公司有甲、乙、丙3个股东。甲的股份是丙的2.4倍，乙的股份是丙的3倍。红利的20%由3人均分，其余部分按股份比例分配。已知丙分得460万元，公司年底红利总计为（ ）。
核心知识点总红利由“20%均分”和“80%按股份分配”两部分组成，丙在两部分中都会获得红利。
方法一：设总红利120份
整理股份比例：以丙的股份为1份，甲、乙、丙的股份比为 \(2.4:3:1=12:15:5\)，总股份为 \(12+15+5=32\) 份。计算均分部分：总红利的20%为 \(120\times20\%=24\) 份，三人均分后丙得到 \(24\div3=8\) 份。计算按股份分配部分：总红利的80%为 \(120\times80\%=96\) 份；丙占总股份的 \(5/32\)，所以得到 \(96\times\frac5{32}=15\) 份。求每份红利的金额：丙共得到 \(8+15=23\) 份，对应460万元，所以每份为 \(460\div23=20\) 万元。求公司总红利：总红利共有120份，因此总金额为 \(120\times20=2400\) 万元。
方法二：设总红利为 x
设公司总红利为 \(x\) 万元，其中 \(x\) 表示需要求出的总红利金额。
计算丙从均分部分所得：均分部分为总红利的20%，丙分得其中三分之一，所以得到 \(\frac{20\%x}{3}=\frac{x}{15}\) 万元。计算丙从股份部分所得：按股份分配部分为总红利的80%，丙占总股份的 \(5/32\)，所以得到 \(80\%x\times\frac5{32}=\frac{x}{8}\) 万元。根据丙的实际所得列方程：两部分所得相加等于460万元，因此 \(\frac{x}{15}+\frac{x}{8}=460\)。解方程：合并左侧得到 \(\frac{23x}{120}=460\)，从而求得总红利 \(x=2400\) 万元。
易错点不能只按股份比例计算丙的红利；20%的均分部分中，丙还会额外得到三分之一。
第13题随机取球的同色概率
袋中装有2个红球、3个白球、4个黑球，随机取出2个球，它们同色的概率为（ ）。
核心知识点总取法是从9个球中不计顺序地选2个；同色取法分别计算红、白、黑三种情况后相加。
方法一：组合数计数
计算全部取法：从9个不同的球中不计顺序地选2个，共有 \(\binom92=36\) 种取法。计算红色同色取法：从2个红球中选2个，共有 \(\binom22=1\) 种。计算白色和黑色同色取法：从3个白球中选2个有 \(\binom32=3\) 种；从4个黑球中选2个有 \(\binom42=6\) 种。汇总同色取法：三种颜色互不重叠，所以同色取法共有 \(1+3+6=10\) 种。计算同色概率：同色概率等于同色取法数除以全部取法数，因此 \(\text{同色概率}=\frac{10}{36}=\frac5{18}\)。
方法二：连续取球
把同时取2个球想象成连续取两次且不放回。第二次取球时袋中只剩8个球。
红球连续出现的概率：第一次取红球的概率为 \(2/9\)，之后再取红球的概率为 \(1/8\)，所以红红概率为 \(\frac29\times\frac18\)。白球连续出现的概率：第一次取白球的概率为 \(3/9\)，之后再取白球的概率为 \(2/8\)，所以白白概率为 \(\frac39\times\frac28\)。黑球连续出现的概率：第一次取黑球的概率为 \(4/9\)，之后再取黑球的概率为 \(3/8\)，所以黑黑概率为 \(\frac49\times\frac38\)。汇总三种同色情况：三种情况不会同时发生，因此概率相加，得到 \(\text{同色概率}=\frac2{72}+\frac6{72}+\frac{12}{72}=\frac{20}{72}=\frac5{18}\)。
组合数符号说明
\(\binom92\) 是一个完整的组合数符号，读作“从9个对象中选2个”，不是分数。先按顺序选择会得到 \(9\times8=72\) 种，但每一对都被正反顺序计算了两次，所以要除以2，最终共有 \(72\div2=36\) 对。
易错点使用连续取球法时是不放回抽取，所以第二次的总球数是8；使用组合数时不考虑先后顺序。